Dentre os padrões que uma determinada população vegetal pode assumir, destacam-se três: Aleatório, Uniforme e Agregado. Uma maneira de verificar qual padrão espacial ocorre em diversas escalas espaciais é utilizando o L de Ripley ($K_{(r)}$) ou o O-Ring ($O_{(r)}$) que são, basicamente, medidas de densidade em torno de um ponto.

Estes índices são calculados da seguinte forma:¹⁾

O $L_{(r)}$ é baseado na função K de Ripley, que é a densidade média de pontos a uma dada distância $r$ de cada ponto, dividida pela intensidade ($\lambda$) dos pontos na área de estudo²⁾:
$$ K_{(r)} = \frac{\sum_{i\neq{j}}^{i}I({d_{ij}<r})}{n}\frac{1}{\lambda}$$
$$ L_{(r)}= (\sqrt{\frac{K_{(r)}}{\pi}}-r) $$
Onde:
* $d_{ij}$ é a distância do ponto $i$ ao ponto $j$;
* $I({d_{ij}<r})$ função indicadora, sendo 1 se o ponto está a uma distância menor que $r$ de $i$, fora desse raio o ponto tem valor 0; e
* $n$ é o número de pontos total.
Sendo que $L(r)>0$ indica agregação, enquanto $L(r)<0$ indica padrão homogêneo.
Logo, definimos $O(r)$ como:
$$ O_{(r)} = L_{(r)} - L_{(r-l)}$$
Onde:
* $r -l$ : é o raio menos a largura do anel ³⁾
Na completa aleatoriedade espacial $O(r) = \lambda$ (intensidade do padrão), quando o padrão é agregado $O(r) > \lambda$ e quando é homogêneo $O(r) < \lambda$

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pad.esp(x, y, lim, rmax, r, ic, nsim)

• x = posições x de cada árvore (classe numeric)
• y = posições y de cada árvore (classe numeric)
• lim = limite de máximo e mínimo de x e y, respectivamente, em m².
• rmax = raio máximo (classe integer)
• r = tamanho do anel ou diferença entre dois raios consecutivos. (classe integer)
• ic = Se TRUE, faz intervalo de confiança através de simulações, se FALSE, não. (classe logical)
• nsim = numero de simulações utilizadas para gerar IC. (classe integer)

• x é numérico e > 0? Se não, escreve “x deve ser numérico e > 0”.
• y é numérico e > 0? Se não, escreve “y deve ser numérico e > 0”.
• O comprimento de x, y são iguais? Se não, retorna “x, y devem ter o mesmo comprimento”.
• lim é numérico e > 0? Se não, escreve “lim deve ser numérico e > 0”
• lim tem comprimento 4? Se não, escreve “lim deve conter c(xmax, xmin, ymax, ymin)”
• rmax = é inteiro e de comprimento 1? Se não, retorna “rmax deve ser inteiro e de comprimento 1”.
• r é inteiro e de comprimento 1? Se não, retorna “r deve ser inteiro e de comprimento 1”.
• ic é lógico? Se não, retorna “ic deve ser lógico”.
• nsim é inteiro de comprimento 1? Se não, retorna “nsim deve ser inteiro e de comprimento 1”.

• Cria matriz distancia, com número de linhas e colunas igual ao comprimento de x e y contendo NAs.
• Cria vetor ntot guardando o comprimento de x.
• Cria vetor dens dividindo ntot por (xmax - xmin) * (ymax - ymin). ⁴⁾
• Cria sequencia sequ de 1 a rmax, com by = r.
• Cria vetor ind, com comprimento igual ao comprimento de sequ, contendo NAs.

• Ciclo for de 1 a ntot (repete o próximo for para todos os pontos).
  • Ciclo for de 1 a ntot.
    • Calcula distância de um ponto a todos os pontos.
    • Guarda resultado em uma linha de distancia.
  • Ciclo for de sequ.
    • Conta quantas quantos elementos de distancia são menores que 1:rmax e guarda em ind.

• Multiplica ind por 1/(ntot*dens) e guarda em kr.
• Calcula o L de Ripley pela fórmula (kr/pi)^1/2 - r e guarda em rip.
• Extrai as posições sequ de ind e guarda em tempring
• Calcula diferença entre 2 posições consecutivas de tempring e guarda em ring.

• Cria objeto indsim, matriz com nsim colunas e ntot linhas, contendo NAs.
• Cria objeto ripsim, matriz com nsim colunas e ntot linhas, contendo NAs.
• Cria objeto ringsim, matriz com nsim colunas e ntot-1 linhas, contendo NAs.

• Ciclo for de 1 a nsim
  • Sorteio de ntot números uma distribuição uniforme entre xmin, xmax, guarda em xsim
  • Sorteio de ntot números uma distribuição uniforme entre ymin, ymax, guarda em ysim
  • Cria objeto distsim, com número de linhas e colunas igual ao comprimento de xsim e ysim contendo NAs.
  • Ciclo for de 1 a ntot (repete os próximos for para todos os pontos)
    • Ciclo for de 1 a ntot
      • Calcula distância de um ponto a todos os pontos
      • Guarda resultado em distsim
    • Ciclo for de sequ
      • Conta quantas quantos elementos de distsim são menores que 1:rmax e guarda em indsim.
  • Multiplica indsim por 1/(ntot*dens) e guarda em krsim.
  • Calcula o L de Ripley pela fórmula (krsim/pi)^1/2 - r e guarda em ripsim[i].
  • Extrai as posições sequ de ind e guarda em tempring
  • Calcula diferença entre 2 posições consecutivas de tempring e guarda em ringsim[i].

• Calcula quantis para cada raio de ripsim
• Calcula quantis para cada raio de ringsim

• Cria vetor saida, um dataframe com mesmo número de colunas que sequ contendo na
  • primeira linha: “agregado” se rip > quantil superior de ripsim e “homogêneo” se rip < quantil inferior de ripsim
  • segunda linha: “aleatório” se ring está entre os quantis de ringsim, “agregado” se ring > quantil superior de ringsim e “homogeneo” se ring < quantil inferior de ringsim.

Plota gráfico(s) com o(s) valor(es) de L-Ripley e/ou O-Ring (com intervalos de confiança se ic = TRUE)

Retorna saida.