* [[02_tutoriais:tutorial2:start|Tutorial]] * [[01_curso_atual:exercicios2| Exercícios]] * [[03_apostila:03-funcoes| Apostila]] ====== 2. Funções Matemáticas e Estatísticas ====== ===== O R como uma Calculadora Fora do Comum ===== ==== Operações Aritméticas Básicas ==== A linha de comando do R funciona como uma calculadora. As principais operações aritméticas e funções matemáticas estão disponíveis. Exemplo:


> 4 + 9
[1] 13
> 4 - 5
[1] -1
> 4 * 5
[1] 20
> 4 / 5
[1] 0.8
> 4^5
[1] 1024
>

A notação básica de operações algébricas, como a aplicação hierárquica de parênteses, também pode ser utilizada:


> (4 + 5 ) * 7 - (36/18)^3
[1] 55
> (2 * ( 2 * ( 2 * (3-4))))
[1] -8
>

Note que somente os parênteses podem ser utilizados nas expressões matemáticas. As chaves ("{}") e os colchetes ("[]") têm outras funções no R:


> (2 * { 2 * [ 2 * (3-4)]})
Error: syntax error in "(2 * { 2 * ["
>

Por que o R é uma calculadora **fora do comum** ? Experimente fazer a seguinte operação matemática na sua calculadora:


> 1 - (1 + 10^(-15))

==== Funções Matemáticas Comuns ==== As funções matemáticas comuns também estão disponíveis e podem ser aplicadas diretamente na linha de comando:


> sqrt(9)   # Raiz Quadrada
[1] 3
> abs( - 1 )  # Módulo ou valor absoluto
[1] 1
> abs( 1 )
[1] 1
> log( 10 )   # Logaritmo natural ou neperiano
[1] 2.302585
> log( 10, base = 10) # Logaritmo base 10
[1] 1
> log10(10)   # Também logaritmo de base 10
[1] 1
> log( 10, base = 3.4076) # Logaritmo base 3.4076
[1] 1.878116
> exp( 1 )       # Exponencial
[1] 2.718282
>

As funções trigonométricas:


> sin(0.5*pi)    # Seno
[1] 1
> cos(2*pi)      # Cosseno
[1] 1
> tan(pi)        # Tangente
[1] -1.224647e-16
>
> asin(1)       # Arco seno (em radianos)
[1] 1.570796
> asin(1) / pi * 180
[1] 90
>
> acos(0)      # Arco cosseno (em radianos)
[1] 1.570796
> acos(0) / pi * 180
[1] 90
> atan(0)    # Arco tangente (em radianos)
[1] 0
> atan(0) / pi * 180
[1] 0
>

Funções para arredondamento:


> ceiling( 4.3478 )
[1] 5
> floor( 4.3478 )
[1] 4
> round( 4.3478 )
[1] 4
> round( 4.3478 , digits=3)
[1] 4.348
> round( 4.3478 , digits=2)
[1] 4.35
>

Funções matemáticas de especial interesse estatístico:


> factorial( 4 )         # Fatorial de 4
[1] 24
> choose(10, 3)          # Coeficientes binomiais: combinação de 10 3-a-3
[1] 120
> gamma(1.2)             # Função gamma
[1] 0.9181687
>

==== Criando Variáveis com Atribuição==== Mais do que simples operações aritméticas, o R permite que executemos operações **algébricas** operando sobre variáveis pré-definidas. Para definir uma variável, basta escolher um nome (//lembre-se das regras de nomes no R//) e atribuir a ela um valor:



> a = 3.6
> b = sqrt( 35 )
> c = -2.1
> a
[1] 3.6
> b
[1] 5.91608
> c
[1] -2.1
>
> a * b / c
[1] -10.14185
> b^c
[1] 0.02391820
> a + exp(c) - log(b)
[1] 1.944782
>  
> a - b * c / d
Error: object "d" not found

Não esqueça de definir as variáveis previamente!! === Exercícios === Pollard (1971) propôs o seguinte estimador para estimar a densidade no método de quadrantes: $$\hat{N} = \frac{4(4n-1)}{\pi \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^4 r_{ij}^2} $$ onde, $r_{ij}$ é a distância de árvore do quadrante $j$ no ponto $i$ ao centro do ponto quadrante e $n$ é o número de pontos quadrantes. A variância desse estimador é: $$Var(\hat{N_p}) = \frac{\hat{N_p}}{4n-2}$$ Imagine que foram amostrados 30 quadrantes, e que o valor da soma do quadrado das distâncias de cada árvore ao centro de seu quadrante foi de: $$\sum_{i=1}^{30} \sum_{j=1}^4 r_{ij}^2 = 2531,794$$ - Qual a densidade estimada? - Qual a variância? A área transversal de uma árvore é calculada assumindo que a secção transversal do tronco à altura do peito (1,3m) é perfeitamente circular. Se o diâmetro à altura do peito (DAP) de uma árvore for 13.5cm, qual a área transversal? Se uma árvore possui três fustes com DAPs de: 7cm, 9cm e 12cm, qual a sua área transversal de cada fuste? O modelo alométrico de biomassa ajustado para árvores do Cerradão estabelece que a biomassa é dada pela expressão: $$\hat{b} = e^{-1,7953} d^{2.2974}$$ onde ''b'' é a biomassa em //kg// e ''d'' é o DAP em //cm//. Já um outro modelo para biomassa das árvores na mesma situação tem a forma: $$\hat{ln(b)} = -2.6464 + 1,996ln(d) + 0,7558ln(h)$$ onde ''h'' é a altura das árvores em //m//. Para uma árvore com DAP de 15//cm// e altura de 12//m//, os modelos resultarão em estimativas muito distintas? ==== Mantendo a Coerência Lógica-Matemática ==== O R também lida com operações matemáticas que envolvem **elementos infinitos** e **elementos indeterminados**: > 1/0 [1] Inf > -5/0 [1] -Inf > 500000000000000000/Inf [1] 0 > 0/0 [1] NaN > Inf/Inf [1] NaN > log(0) [1] -Inf > exp(-Inf) [1] 0 > sqrt(Inf) [1] Inf > sqrt(-1) [1] NaN Warning message: NaNs produced in: sqrt(-1) > 2 * NA [1] NA > 2 * NaN [1] NaN > NA / 10 [1] NA > NaN / -1 [1] NaN Note que determinadas **palavras** (além do nome das funções) estão reservadas no R, pois são utilizadas com significado especial: * ''pi'' - constante pi = 3.141593 ; * ''Inf'' - infinito; * ''NaN'' - indeterminado (Not a Number), normalmente resultado de uma operação matemática indeterminada; * ''NA'' - indeterminado (Not Available), normalmente caracterizando uma observação perdida ou faltante (//missing value//). Na operações matemáticas, ''NaN'' e ''NA'' atuam sempre como **indeterminado**. === Exercícios === O que acontece se você criar uma variável com o nome ''pi''? Por exemplo,


> pi = 10

O que acontece com a constante //pi//? E se for criada uma constante de nome ''sqrt''? O que acontece com a função raiz quadrada (''sqrt()'')? **DICA:** O que faz a função ''search'', no comando:


> search()

Como se caracteriza uma **observação perdida**? Quando o diâmetro de uma árvore deve ter o valor **zero** ou o valor **NA**? E o peso de um animal? E a biomassa de uma floresta? E a espécie de uma ave? ===== O R como uma Calculadora Vetorial ===== ==== Criação de Vetores ==== O R, e a linguagem S, foram criados para operar não apenas //número-a-número// como uma calculadora convencional. O R é um ambiente **vetorial**, isto é, quase todas suas operações atuam sobre um //conjunto de valores//, que genericamente chamaremos de vetores((No R, "vetores" são uma classe de objetos definida simplesmente como conjuntos de elementos de um mesmo tipo. Os vetores do R não correspondem a vetores de valores da álgebra matricial, para os quais há outra classe de objetos, que é "matrix")). Uma definição mais detalhada dos vetores está [[04-dados#Vetores|na seção sobre manipulação de dados]]. Aqui fornecemos apenas algumas definições e funções importantes para compreender as operações numéricas com vetores. === Concatenação de Elementos em um Vetor: a Função "c" === Para criar um vetor, podemos usar a função ''c'' (c = concatenar). Essa função simplesmente junta todos os argumentos dados a ela, formando um vetor:


> a = c(1, 10, 3.4, pi, pi/4, exp(-1), log( 2.23 ), sin(pi/7) )
> a
[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016  0.4338837
>

=== Criação de Sequências: Operador ":" e Função "seq" === Para criar vetores de números com intervalo fixo unitário (intervalo de 1) se utiliza o //operador sequencial// ('':''):


> b = 1:8
> b
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8
> c = 20:32
> c
 [1] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
> d = 2.5:10
> d
[1] 2.5 3.5 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 9.5

Uma forma mais flexível de criar sequências de números (inteiros ou reais) é usando a função ''seq'':


> seq(10, 30)
 [1] 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
> seq(10, 30, by=2)
 [1] 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30
> seq(1.5, 7.9, length=20)
 [1] 1.500000 1.836842 2.173684 2.510526 2.847368 3.184211 3.521053 3.857895
 [9] 4.194737 4.531579 4.868421 5.205263 5.542105 5.878947 6.215789 6.552632
[17] 6.889474 7.226316 7.563158 7.900000

=== Vetores de Valores Repetidos: Função "rep" === Também é fácil criar uma sequência de números repetidos utilizando a função ''rep'':


> rep(5, 3)
[1] 5 5 5
> rep(1:5, 3)
 [1] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
> rep(1:5,each=3)
 [1] 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5
>

=== Exercícios === Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7. Crie um vetor ''dap'' com os diâmetros acima e uma sequência que enumera os fustes. ==== Vetores: Operações Matemáticas ==== Todas operações matemáticas aplicadas sobre um vetor, serão aplicadas sobre cada elemento desse vetor:


> 2 * a
[1]  2.0000000 20.0000000  6.8000000  6.2831853  1.5707963  0.7357589  1.6040032
[8]  0.8677675
> sqrt( a )
[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
[8] 0.6586985
>
> log( a )
[1]  0.0000000  2.3025851  1.2237754  1.1447299 -0.2415645 -1.0000000 -0.2206447
[8] -0.8349787
>

Se as variáveis que trabalhamos são vetores, operações matemáticas entre variáveis serão realizadas pareando os elementos dos vetores:


> a* b
[1]  1.000000 20.000000 10.200000 12.566371  3.926991  2.207277  5.614011
[8]  3.471070
> a - b
[1]  0.0000000  8.0000000  0.4000000 -0.8584073 -4.2146018 -5.6321206 -6.1979984
[8] -7.5661163
> a^(1/b)
[1] 1.0000000 3.1622777 1.5036946 1.3313354 0.9528356 0.8464817 0.9689709
[8] 0.9008898
>  
> sqrt( a )
[1] 1.0000000 3.1622777 1.8439089 1.7724539 0.8862269 0.6065307 0.8955454
[8] 0.6586985
> log( b )
[1] 0.0000000 0.6931472 1.0986123 1.3862944 1.6094379 1.7917595 1.9459101
[8] 2.0794415
>

=== Comprimento de Vetores e a Função "length" === A função ''length'' retorna o número de elementos de um objeto:


> a <- seq(from=0, to=10, by=2)
> a
[1]  0  2  4  6  8 10
> length(a)
[1] 6
> length(1:20)
[1] 20
> length(rep(1:10,each=10))
[1] 100
>

=== A Regra da Ciclagem === O comprimento é muito importante para as operações vetoriais, pois o R permite operações entre dois vetores de comprimentos diferentes, com a seguinte regra: Operações entre vetores de comprimentos diferentes são realizadas pareando-se seus elementos. Os elementos do vetor mais curto são repetidos sequencialmente até que a operação seja aplicada a todos os elementos do vetor mais longo Quando o comprimento do vetor maior não é múltiplo do comprimento do maior, o R retorna o resultado e um aviso:


> b
 [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
> c
[1] 1 2 3
> c*b
 [1] 0 0 0 0 0 3 1 2 3 1
Warning message:
In c * b : longer object length 'is' not a multiple of shorter object length
> length(b)
[1] 10
> length(c)
[1] 3
>

Mas se o comprimento do vetor maior é um múltiplo do maior, o R retorna apenas o resultado, sem nenhum alerta:


> a
[1] 1 2
> b
 [1] 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1
> a*b
 [1] 0 0 0 0 0 2 1 2 1 2
> length(b)/length(a)
[1] 5
>

Portanto **muito cuidado com as operações entre vetores de diferentes comprimentos**. A regra da ciclagem é um recurso poderoso da linguagem R ((A vantagem mais óbvia da regra da ciclagem é a possibilidade de multiplicação de um vetor por um valor único. Você compreende por que?)), mas se você não tiver clareza do que deseja fazer, pode obter resultados indesejados. === Exercícios === Uma palmeira perfilhada possui 10 fustes com os seguintes diâmetros: 5, 6, 7, 5, 10, 11, 6, 8, 9 e 7. - Calcule a área transversal de cada fuste dessa palmeira. Guarde este resultado em novo objeto. - Calcule a média das áreas transversais, sem usar a função ''mean''. - Calcule a variância das áreas transversais, sem usar a função ''var'' Como construir uma sequência que representa o aumento do número de bits por byte de computador, quando se dobra o tamanho dos bytes? Essa sequência numérica parte do 2 e dobra os valores a cada passo. ==== Vetores: Operações Estatísticas ==== As funções matemáticas sobre vetores operam //elemento-a-elemento//. Já as funções estatísticas operam no vetor **como um todo**:


> mean( a )
[1] 2.491344
> var( b )
[1] 6
> max( c )
[1] 32
> sd( a )
[1] 3.259248
> sum( c )
[1] 338
> min( b )
[1] 1
> range( c )
[1] 20 32
>

Algumas funções úteis que não são estatísticas, mas operam no vetor são:


> a
[1]  1.0000000 10.0000000  3.4000000  3.1415927  0.7853982  0.3678794  0.8020016
[8]  0.4338837
> sort(a)
[1]  0.3678794  0.4338837  0.7853982  0.8020016  1.0000000  3.1415927  3.4000000
[8] 10.0000000
> rev(sort(a))
[1] 10.0000000  3.4000000  3.1415927  1.0000000  0.8020016  0.7853982  0.4338837
[8]  0.3678794
> cumsum(sort(a))
[1]  0.3678794  0.8017632  1.5871613  2.3891629  3.3891629  6.5307556  9.9307556
[8] 19.9307556
> cumsum(a)
[1]  1.00000 11.00000 14.40000 17.54159 18.32699 18.69487 19.49687 19.93076
> diff(a)
[1]  9.0000000 -6.6000000 -0.2584073 -2.3561945 -0.4175187  0.4341221 -0.3681178
> diff( seq(10, 34, length=15) )
 [1] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
 [9] 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286 1.714286
>

=== Exercícios === As leituras mensais do medidor de consumo de eletricidade de uma casa foram: ^Jan^Fev^Mar^Abr^Mai^Jun^Jul^Ago^Set^Out^Nov^Dez^ |9839|10149|10486|10746|11264|11684|12082|12599|13004|13350|13717|14052| - Calcule o consumo de cada mês neste período. - Qual foi o máximo e mínimo de consumo mensal? - Qual a média, mediana e variância dos consumos mensais? ===== As Funções no R ===== Já foi visto que ao se digitar o nome de uma função na linha de comando, o R retorna o **código** da função. Veja a diferença de:


> ls()

para:


> ls

A maioria das funções precisa de certas **informações** para orientar o seu procedimento, tais informações são chamados de **argumentos**. Os argumentos de qualquer função são detalhadamente explicados nas páginas de ajuda sobre a função. Mas para uma rápida consulta dos argumentos de uma função podemos usar a função '''args''':


> args(ls)
function (name, pos = -1, envir = as.environment(pos), all.names = FALSE,
    pattern)
NULL
> args(q)
function (save = "default", status = 0, runLast = TRUE)
NULL
> args(save.image)
function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
    safe = TRUE)
NULL
>

Algumas funções, entretanto, são primitivas ou internas e seus argumentos não são apresentados. Geralmente, nesses casos os argumentos são bastante óbvios:


> args(sin)
NULL
> sin
.Primitive("sin")
>

Outras funções simplesmente não possuem argumentos:


> args(getwd)
function ()
NULL
> getwd
function ()
.Internal(getwd())

>

Ao observar o resultado da função '''args''', você notará que alguns argumentos são seguidos de uma expressão que se inicia com o sinal de igualdade ('''='''). A expressão após o sinal de igualdade é chamada de **valor default** do argumento. Se o usuário não informar o valor para um dado argumento, a função usa o valor default. Como exemplo veja a função '''save.image''':


> args(save.image)
function (file = ".RData", version = NULL, ascii = FALSE, compress = !ascii,
    safe = TRUE)
NULL
>

Se o usuário simplesmente evocar a função '''save.image()''', sem informar o nome do arquivo onde a área de trabalho deve ser gravada, o R gravará as informações num arquivo com nome '''.RData'''. === Exercícios === Quais são os argumentos (e seus valores default) das seguintes funções: * **mean** * **sd** * **range** * **cumsum** Quais são os argumentos (e seus valores default) das funções: * **sort** * **log** * **seq** O que é o argumento **". . ."**? ===== Distribuições Estatísticas: Funções no R ===== Sendo um ambiente para análise de dados, o R dispõe de um grande conjunto de funções para trabalhar com //Distribuições Estatísticas//. Essas funções ajudam não só na análise de dados, como também permitem a //simulação// de dados. ==== Distribuição Normal ==== A distribuição Normal é a distribuição central da teoria estatística. Para gerar uma amostra de observações de uma distribuição normal utilizamos a função ''rnorm'':


> args( rnorm )
function (n, mean = 0, sd = 1)
NULL
> vn1 = rnorm( 1000, mean = 40,  sd = 9 )
> mean( vn1 )
[1] 39.47248
> sd( vn1 )
[1] 8.523735
> range( vn1 )
[1] 14.93126 62.11959
>
> vn2 = rnorm( 100000, mean = 40,  sd = 9 )
> mean( vn2 )
[1] 40.02547
> sd( vn2 )
[1] 9.025218
> range( vn2 )
[1]  3.40680 78.25496
>

Se quisermos saber a //probabilidade acumulada// até um certo valor de uma variável com distribuição normal utilizamos a função ''pnorm'':


> args(pnorm )
function (q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
NULL
>
> pnorm( 1.96, mean = 0 , sd = 1 )
[1] 0.9750021
> pnorm( 1.96 )
[1] 0.9750021
>
> pnorm( 27, mean = 20, sd = 7 )
[1] 0.8413447
> pnorm( 13, mean = 20, sd = 7 )
[1] 0.1586553
>

Se quisermos obter o valor de um //quantil// da distribuição normal utilizamos a função ''qnorm'':


> args( qnorm )
function (p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
NULL
> qnorm( 0.90 )
[1] 1.281552
> qnorm( 0.30 )
[1] -0.5244005
>
> qnorm( 0.90, 20, 7)
[1] 28.97086
> qnorm( 0.30, 20, 7)
[1] 16.32920
>

A função ''dnorm'' fornece a //densidade probabilística// para cada valor de uma variável Normal:


> args( dnorm )
function (x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
NULL
> x = seq(-4, 4, length=10000)             # Sequencia de -4 a 4 com 10.000 valores
>
> plot(x, dnorm(x))                        # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 1
> points(x, dnorm(x, sd=2))                # Curva da Dist. Normal com média 0 e desvio padrão 2 (adicionada ao gráfico)
>

=== Exercícios === Tomando uma variável que segue a Distribuição Normal, o que acontece com a //amplitude de variação// dos dados à medida que o tamanho da amostra cresce (por exemplo n= 100, 1000, 10000)? **Dica:** use as funções ''range'' e ''diff'' Qual o intervalo da Distribuição Normal Padronizada que têm a média no centro e contém 50% das observações? Qual a probabilidade de uma observação da variável Normal Padronizada estar no intervalo [-1.96 , 1.96]? ==== As Funções que Operam em Distribuições Estatísticas ==== O que foi apresentado para Distribuição Normal pode ser generalizado para todas as distribuições que o R trabalha. Há quatro funções para se trabalhar com distribuições estatísticas: * **d**//distrib// - retorna a //densidade probabilística// para um dado valor da variável; * **p**//distrib// - retorna a //probabilidade acumulada// para um dado valor da variável; * **q**//distrib// - retorna o //quantil// para um dado valor de probabilidade acumulada; * **r**//distrib// - retorna //valores// (números aleatórios) gerados a partir da distribuição; No caso da Distribuição Normal: //distrib// = ''norm''. Para outras distribuições temos: ^ Distribuição ^ Nome no R ^ Parâmetros((os argumentos de cada função incluem estes parâmetros, entre outras coisas)) ^ | beta | beta | shape1, shape2, ncp | | binomial | binom | size, prob | | Cauchy | cauchy | location, scale | | qui-quadrado | chisq | df, ncp | | exponential | exp | rate | | F | f | df1, df2, ncp | | gamma | gamma | shape, scale | | geométrica | geom | prob | | hypergeométrica | hyper | m, n, k | | log-normal | lnorm | meanlog, sdlog | | logística | logis | location, scale | | binomial negativa | nbinom | size, prob | | normal | norm | mean, sd | | Poisson | pois | lambda | | t de Student | t | df, ncp | | uniforme | unif | min, max | | Weibull | weibull | shape, scale | | Wilcoxon | wilcox | m, n | === Exercícios === Você realizou um teste //t// de Student bilateral e obteve o valor //t = 2.2// com 19 graus de liberdade. O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%? E se o valor observado fosse //t = 1.9//? Você realizou um teste //F// e obteve o valor //F = 2.2// com 19 graus de liberdade no numerador e 24 graus de liberdade no denominador. O teste é significativo ao nível de probabilidade de 5%? E se o valor observado fosse //F = 2.5//? Gere duas amostras (p.ex.: //x// e //y//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Uniforme. Faça um gráfico plotando uma amostra contra a outra (''plot(x,y)''). Qual o padrão espacial observado? Você consegue explicá-lo? Gere duas amostras (p.ex.: //xp// e //yp//) de tamanho 10 (n=10) de números da distribuição Uniforme, com valor mínimo de zero e máximo de 100. Gere duas amostras (p.ex.: //xf// e //yf//) de tamanho 1000 (n=1000) de números da distribuição Normal com média zero e desvio padrão 2) Faça um gráfico plotando a soma das amostras X (//xp+xf//) contra a soma das amostras Y (//yp+yf//) (''plot(xp+xf,yp+yf)''). Qual o padrão espacial observado? Você consegue explicá-lo? Construa uma seqüência **ordenada** de 1000 números entre 0 e 1:


> p = seq(0, 1, length=1000)

O vetor '''p''' representa um vetor de probabilidades acumuladas. Gere 1000 números aleatórios da distribuição Normal com média e desvio-padrão 1 (um) e coloque os números em ordem:


> x = sort( rnorm(1000, mean=1) )

Faça um gráfico dos quantis da distribuição Normal, tomando o vetor '''p''' de probabilidades, contra os valores de '''x''':


> plot( qnorm(p, mean=1), x )

Como é o gráfico resultante? Repita o mesmo processo para a distribuição Exponencial ( '''rexp''' ), cujo valor //default// resulta em média = 1 . Como é o gráfico resultante? Por que? /* ===== Soluções dos Exercícios ===== {{:03_apostila:exerc3apostila.r|Aqui}} você encontra os códigos que solucionam alguns dos exercícios propostos. Se o seu código for diferente, não quer dizer necessariamente que errou. Compare os dois resultados! Como qualquer linguagem, o R é criativo: em muitos casos há mais de uma maneira de solucionar um problema. */